Aruch Hashulchan as cited below explains the viewpoint that states that a child who has a father who is a convert and a mother who is a native Israelite is forbidden from marrying a mamzer.
The Torah states as translated by Rabbi Aryeh Kaplan, the Living Torah on Deut. {Dvarim} 23:3 which I copied from http://bible.ort.org/books/pentd2.asp?ACTION=displaypage&BOOK=5&CHAPTER=23 }
23:3 A bastard must not enter God's marriage group. Even after the tenth generation, he may not enter God's marriage group.
A convert does not yet have the status of "Kahal" , which is translated by Rabbi Kaplan as marriage group. If the convert is a man he is therefore free to marry into the family of Jews of the best lineage (cohanim, for example) or a female Mamzer.
Female converts can marry into the 2nd best lineage and downwards, namely, Levites, Israelites or even a Mamzer (if she chooses to do so).
However, Aruch Hashulchan explains, that the child of a father who is a convert and a mother who is a native Israelite according to Rambam & Tur gets "Kahal" status, that is to say marriage group status, by virtue of his mother. Thus the verse of Deut. {Dvarim} 23:3 would apply to such a child and so he would not be allowed to marry a Mamzer.
ערוך השולחן אבן העזר סימן ד
סעיף יב
ודע דזה שנתבאר דגר שנשא בת ישראל הולד אסור בממזרת זהו דעת הרמב"ם והטור וי"א דכיון שיש קדושין ואין עבירה הולד הולך אחר אביו ומותר בממזרת ואף על גב דאין זה כלל קבוע דהרי גר שנשא ממזרת דיש קדושין ואין עבירה ומ"מ הולד ממזר שאני התם שהתורה רבתה שהולך אחר פסולו כמ"ש בסעי' י' אבל בזה מנא לן ויש מי שאומר הטעם דלא גרע מכותי שבא על בת ישראל דהולד כשר כמו שיתבאר ואסור בממזרת [הה"מ] ואין זה טעם מספיק דהרי כותי הבא על אשת איש הולד כשר כמו שיתבאר והוא הבא על אשת איש הולד ממזר ועוד דהרמב"ם בעצמו פסק בגר שנשא גיורת והולידו בן ה"ז מותר בממזרת וכן בן בן בנו עד שישתקע שם גירותו ממנו ואח"כ יאסר בממזרת וא"כ איזה הפרש יש בין נשא גיורת לנשא ישראלית ולי נראה דטעמן הוא דהא חזינן דבענייני כניסה לקהל החמירה התורה לילך גם אחר האם כמו ישראל שנשא ממזרת דהולד ממזר ואסור ליכנס לקהל וכ"ש להחמיר עליו שלא ישא ממזרת כשאמו ישראלית דהולכין גם אחרי האם ובזה לא שייך לומר הלך אחר פסולן דהרי אינו פסול וכישראל גמור הוא אלא דלא איקרי קהל ולכן כשאמו ישראלית מקרי קהל ואסור בממזרת [וע' בשעה"מ ובא"מ וביש"ש קדושין פ"ד סי' ו']:
One final comment.
The translation that Rabbi Kaplan uses for Mamzer, namely, bastard, is a bit misleading, because it usually carries a different definition in English than the halachic definition of Mamzer.
Aruch Hashulchan Even Haezer 18:1 gives the precise halachic definition, see there for details.